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(Amaths) 數學歸納法一問
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a題好多人都問過, 我自己都識計 但b,c題我搵左好耐都見唔到有人問過 請幫幫忙吧！！ a). 用數學歸納法,證明對於所有正整數n 12+２2+３2+...+n2=1/6n(n+1)(2n+1) b). 由此, 或用其他方法, 計算下列各題 (ｉ)22+42+62+...+(2n)2 (ｉｉ)12 - 22 + 32 - 42 +... -402 c).利用a的結果, 或用其他方法, 推導出計算以下數式的公式 1x1 + 2x3 + 3x5 +...+n(2n - 1)
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bi) 22+42+62+...+(2n)2 = (2*1)2 + (2*2)2 + (2*3)2 + ... + (2*n)2 = 4(1)2 + 4(2)2 + 4(3)2 + ... + 4(n)2 = 4(12 + 22 + 32 + ... + n2) = 4(1/6n(n+1)(2n+1)) = 2/3n(n+1)(2n+1) bii) 12 - 22 + 32 - 42 +... -402 = 12 + 22 + 32 + 42 +... + 402 - 2(22 + 42 + ... + 402) = 1/6*40(40+1)(2*40+1) - 2(2/3*20(20+1)(2*20+1)) = 22140 - 22960 = -820 c) 1x1 + 2x3 + 3x5 +...+n(2n - 1) = (1x1+1*0) + (2x2+2*1) + 3x3+3*2 + ... + n*n + n*(n-1) = 12+２2+３2+...+n2 + (0 + 2*1 + 3*2 + 4*3 + ... + n*(n-1)) = 12+２2+３2+...+n2 + (12+２2+３2+...+n2 - 1 - 2 - 3 - 4 - ... -n) = 12+２2+３2+...+n2 + (12+２2+３2+...+n2 - (1+2+3+...+n)) = 2(12+２2+３2+...+n2) - (1+2+3+...+n) = 2(1/6n(n+1)(2n+1)) - n(1+n)/2 = 1/3*n(n+1)(2n+1) - n(n+1)/2 = n(n+1)((2n+1)/3 - 1/2) = n(n+1)(4n+2-3)/6 = n(n+1)(4n-1)/6 2006-11-08 00:36:13 補充： 提示：bi) 抽出 common factor (4) 就可應用 part a 的公式。bii) 只是雙數部份變了減，使用 -x = x-2x 概念就可分為左右兩部分，且可以應用 part a 及 part bi 之公式。 2006-11-08 00:37:51 補充： c) 先想方法抽出 part a 之公式，就可簡化。另一種方法，可能你會覺得較易明白：1x1 + 2x3 + 3x5 +...+n(2n - 1) = (1x2 + 2x4 + 3x6 + ... + n(2n)) + (1+2+3+...+n)= 2(1 + 2x2 + 3x3 + ... + n*n) + (1+2+3+...+n)= 2(1/6n(n+1)(2n+1)) + n(n+1)/2= n(n+1)((2n+1)/3 - 1/2)= n(n+1)(4n+2-3)/6= n(n+1)(4n-1)/6
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