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設 f(x) 為可導函數。已知 f(8) = 6 及 f'(

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設 f(x) 為一可導函數。已知 f(8) = 6 及 f'(8) = -2。 (a) 設 u(x) = x^3。求 du/dx。 (b) 求當 x = 8 時 d/dx[f(x)]^3 的值。 (c) 若 g(x) = f(x^3) 及 h(x) = [f(x^3)]^3,利用 (a) 及 (b) 的結果,求 (i) g'(2), (ii) h'(2)

最佳解答:

設 f(x) 為一可導函數。已知 f(8)=6及 f'(8)=-2 (a) 設 u(x) = x^3。求 du/dx du/dx=dx^3/dx=3x^2 (b) 求當 x= 8 時 d/dx[f(x)]^3 的值。 d[f(x)]^3/dx ={d[f(x)]^3/df(x)}*df(x)/dx =3[f(x)]^2*f'(x) d[f(x)]^3/dx|x=8 =3*6^2*(-2) =-216 (c) 若 g(x) = f(x^3) 及 h(x) =[f(x^3)]^3,利用 (a)及(b)的結果,求 (i) g'(2) dg(x)/dx =df(x^3)/dx =[df(x^3)/dx^3]*dx^3/dx =3x^2f'(x^3) g'(2)=3*4*(-2)=-24 (ii) h'(2) dh(x)/dx =d[f(x^3)]^3/dx ={d[f(x^3)]^3/df(x^3)}*{df(x^3)/dx^3}*(dx^3/dx) ={3[f(x^3)]^2}*f'(x^3)*(3x^2) h'(2)=3*36*(-2)*12=-2592

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