標題:

歸納法--整除

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發問:

證明對於正奇數n, 7^n +4^n能被11 整除 當n = k+2 f(k+2)= 7^(k+2) +4^(k+2) =7^2 * 7^K + 4^2 *4^K =49 * 7^k + 16 * 4^k =49(7^k + 4^k) -33 *4^k = 49 (11m) -11*3 * 4^k = 11 [ 49m -3(4^k) ........... 當中的 =49 * 7^k + 16 * 4^k是怎樣 計成= 49 (11m) -11*3 * 4^k呢? 謝謝！ 更新: 你感謝你,你巳解答了我的問題, 只是我想知道多些關於: 這是一條數學恆等式： a^n + b^n = (a + b)[a^(n-1) - a^(n-2)*b + ……. - a*b^(n-2) + b^(n-1)] 其中 a 和 b 是實數，而 n 是奇數。 .... 以上的恆等式,我應在那兒找到關於他的資料呢? 什麼時候學的呢? 謝謝你!

最佳解答:

這是一條數學恆等式： a^n + b^n = (a + b)[a^(n-1) - a^(n-2)*b + ……. - a*b^(n-2) + b^(n-1)] 其中 a 和 b 是實數，而 n 是奇數。 根據上式，當 a = 7, b = 4, 奇數 k = n 7^k + 4^k = (7 + 4)[7^(k-1) - 7^(k-2)*4 + ……. - 7*4^(k-2) + 4^(k-1)] = 11[7^(k-1) - 7^(k-2)*4 + ……. - 7*4^(k-2) + 4^(k-1)] …… (*) 當 k 為奇數， [7^(k-1) - 7^(k-2)*4 + ……. - 7*4^(k-2) + 4^(k-1)] = 整數 令整數 m = [7^(k-1) - 7^(k-2)*4 + ……. - 7*4^(k-2) + 4^(k-1)] 則 (*) 變成 7^k + 4^k = 11m …… (**) 故此， 49*7^k + 16*4^k = 49*7^k + (49 - 33)*4^k = 49*7^k + 49*4^k - 33*4^k = (49*7^k + 49*4^k) - 33*4^k = 49(7^k + 4^k) - 11*3*4^k …… (***) 把 (**) 代入 (***)： 49*7^k + 16*4^k = 49(11m) - 11*3*4^k

其他解答:

那是因為，假設n=k，原式成立 則令 7^k + 4^k = 11m 那 7^(k+2) + 4^(k+2) = 49*7^k + 16* 4^k =49*(7^k + 4^k )+16* 4^k - 49* 4^k =49*(11m) -33 * 4^n =11(49m-4^n) 故得証
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